研究紀要第54号 「教育課程の実施に関する研究」 -035/071page

かのデータから結果を推定することはむずかしく危険であるということをわからせることによって,証明の意味・意義について理解させたい。

[ アルゴリズム ]
とおくと
Ｓｎ＝Ｓｎ−１＋１/Ｉ ² 　( ｎ ≧ １ ) ただしＳｏ＝０
したがって，図２でＡ(I)＝１/Ｉ ² とすると，その流れ図となる。なお,表２では階差を求めているので,表２を求めるプログラムの流れ図は,図２とはいくぶん異なる。

[ 計算の結果と考察 ]
　表２は,Ｎを100から3000まで100きざみに増加させ・部分和 の値の変化とその増加量(階差)を示したもので,パソコンで作成したものである。
　表２からわかるように,Ｎ＝1100からＮ＝3000までは,和がいずれも 1.644・・・と小数第３位までは変わらない程度の増加であり,また,Ｎ＝3000のときの和は 1.6446001 で,＝2000のときの和と比べて,１千個の分数が加えられているにもかかわらず 0,0001664 だけ増加したにすぎない。このことから,Ｎを大きくしていっても和は２を越えることはないのではないかと推定されよう。その通りで,級数 　（＝1.6449・・・)に収束することがわかっている。

　一方　 については,表３からわかるように,ｎ＝6000のときの部分和は 9.2768043 で,ｎ＝5900のときの部分和と比べて O.0168・・・の増加から推定すると,この先,ｎを大きくしても,ある有限の値を越えることはないように感覚的には思われる。しかし,これは正の無限大に発散する。この二つの級数 とを比較することにより,無限の世界のふしぎさ,神秘さのようなものを生徒が感じてくれるのではないか。そして証明することの意義をわかってくれるのではないかと思うのである。
　極限は,その行きつく状態を考えるわけだが,いかなる経過をたどってそのような状態に達するかは,計算機の導入なしでは触れることができなかったといえよう。パソコンのこのような活用は,極限の概念を別の角度からとらえる手助けになるとも思うのである。

表２　自然数の２乗の逆数の和