研究紀要第54号 「教育課程の実施に関する研究」 -036/071page

表３　自然数の逆数の和

(3) 古典的方法による円周率の計算

例３　円に内接および外接する正多角形の周で,円を上下からはさみつけることによって,円周率の近似値を求める。

[ ねらい ]
　生徒たちが,小学校時代から親しんできた円周率が,本当に3.14・・・であることを,生徒自らの手で確かめさせたい。さらに,この計算を通して,漸化式表現(帰納的定義)の有効さを理解させたい。
　「基礎解析」で「数列」の学習が一通り終えたところで,学習するのに適切な内容と思われる。

[ アルゴリズム ]
　半径１の円に内接および外接する正２ ⁿ⁺¹ 角形の周の長さをそれぞれ２ ,２ とすると,次の不等式が成り立つ。

　＜　π　＜　Ｌｎ
　ここで, { } は単調増加, { Ｌｎ } は単調減少であり,また, ｎ → ∞ のとき Ｌｎ → → ０　であるから,ｎを大きくしていき,それに対応する ，Ｌｎの値を求めることによって,π の近似値を求めることができる。

図　３

　図３において,半径１の円に内接および外接する正 ｎ 角形の一辺をそれぞれ ２ａ，２ｂ とし,内接および外接する正２ｎ 角形の一辺を ２ａ'，２ｂ' とする。