福島県教育センター所報ふくしま　No.53（S56/1981.10） -002/034page

高等学校教材

「鈍角への拡張」の指導について

−数学1における「三角比」の取扱い−

教科教育部　 上　川　洋　行

　 1．はじめに
　　「三角比・三角関数」は，昭和22年に出された学習指導要領（試案）以来，数回にわたるその改訂のいずれの場合にも，指導内容として取り上げられてきた。今回の学習指導要領の改訂でも例外ではない。しかし，「教学1」での取扱いについてみると，現行のそれとの間に，かなりの違いがある。そこで,新「教学1」における「三角比」の取扱いについて，考察を加えてみたい。
　昭和57年度から学年進行で実施される高等学校学習指導要領によれば，現行の「教学1」の「三角関数」の内容のなかで，「関数として」の取扱いは，2学年以降に履修する選釈科目の内容となり，1年次に全員が履修する「教学I」では，「三角比としての図形的な内容だけ」が取り扱われるようになった。「数学1」の「三角比」で取り上げられる事項は，「正弦　余弦および正接」と「正弦定理，余弦定理」である。正弦定理，余弦定理では，当然，鈍角三角形も扱うことになり，三角比をどのように鈍角へ拡張するかが，問題となってくるように思われる。そこで，鈍角の三角比の定義のしかたに焦点をあてて，述べてみたい。

　 2．学習指導要領にみる「三角比」の指導の変遷

　まず，手がかりを得るために，ここ20年来の学習指導要領から，「三角比」の取扱い方についての変遷をふり返ってみよう。
　昭和33年改訂の中学校学校指導要領では，「鋭角の三角比」を3年の内容としている。これを受けて昭和35年の高等学校学習指導要領においては，「一般角の三角関数」を「数学1」の内容とし，「正弦定理，余弦定理」を「数学2B」の内容にしている。
　昭和45年の学習指導要領の改訂では，20有余年，中学校で指導されてきた「三角比」は，指導内容の精選・集約という趣旨から削除されて，「三角比」は，「数学1」の「三角関数」のなかで指導されることになった。これが現行のもので，内容は，○正弦，余弦および正接の意味　○三角形の辺と角との間の基本的な関係　○三角関数とその周期性である。
　上に述べたいずれの場合でも，「三角比」の指導においては，
　鋭角の三角比→一般角の三角関数→正弦定理，余弦定理
の順序で進めれば，ことさら，鈍角を取り上げ，その三角比をどう定義しようかという問題は，起こってこない。
　先に述べたように，今回改訂の高等学校学習指導要領によれば，指導の順序は
　鋭角の三角比→正弦定理，余弦定理→一般角の三角関数（数学2，基礎解析の内容）
となり，「数学1」で，一般の三角形について「正弦定理，余弦定理」を学習するには，どうしても，事前に鈍角に対して「三角比」を定義しておかなければなるまい。

　 3．「三角比」の高校数学での位置づけ

　初等幾何の計量的な面については，中学校において，三平方の定理や相似の応用などを通して学んでいる。これを受けて教学1の「三角比」では，図形の計量に関する理解を一層明確なものにし，応用場面を広げていくことをねらいにしている。内容としては「直角三角形の辺の比と角との間の関係として，正弦　余弦および正接を導入し，それらを鈍角の場合にまで拡張」し，さらに「三角形の辺と角との間の基本的な関係として，正弦定理・余弦定理を導き，それらを図形の性質の考察や自然の観測，測量などに活用することを取り扱う」（高等学校学習指導要領解説昭和54年）ことになる。
　「数学1」は，すべての高校生が履修する科目であるが，その後の選択科目の履修は，進路・適性に