福島県教育センター所報ふくしま　No.35（S53/1978.2） -005/026page

―　円周率πの値ほどのようにして計算するのですか　―

第1研修部　　 渡　辺　十　三

答え 　円周率方の値を求める方法はいろいろあります が，ここでは， 

• （1）もっとも原始的な方法と 
• （2）コンピューターを用いて計算する方法 

の2つについて説明します。

　まず，（1）の方法ですが，これは直径1の円（その円周 の長さは2×π×1/2＝π）に内接，外接する正多角形の 周の長さを計算してその近似値を求めようとするもので す。 

　　　　　　　　（図1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（図2）　

　上の図1から，

　内接正4角形の周の長さ＜円周の長さπ＜外接正4角形の周の長さ

　内接正8角形の周の長さ＜円周の長さπ＜外接正8角形の周の長さ 　

がわかり，さらに，内接，外接正8角形の周の長さの方 が，内接，外接正4角形の周の長さより円周の長さπに 近い値であることがわかります。つまり，辺の数を多く すればするほど円周の長さπによりよく近似することが わかりますから，内接，外接正16角形，32角形・・・と， 次々に辺の数を2倍にした正多角形の周の長さを計算し ていって，下の関係からπの値にせまっていこうとする ものです。 　

　内接正ｎ角形の周の長さ＜円周の長さπ＜外接正ｎ角形の周の長さ 　（※ただし， 　以上の整数） 　

　上の説明では，内接，外接正4角形から出発しました が，内接，外接正6角形から出発してもよいのです。ア ルキメデス（287？〜212BC）は，内接，外接正6角形 から出発して正96角形の周の長さを計算し，

 　　　　　3．14084・・・＜π＜3．14285・・・ 

を得ています。ルドルフ（ドイツ1539〜1610）は正 角形 の周の長さを計算して，小数点以下35桁まで求めましたが，彼はこの計算にほとんど一生を費やしたそうです。 日本では，関孝和（1642？〜1708）が，内接正4角形か ら出発して正 ＝131072角形の周の長さを計算し，小 数点以下10桁まで求めています。また，鎌田俊清（1678 〜1747）は，正 角形の周の長さを計算して小数点以下 25桁まで求めています。 　

問い 　内接，外接正多角形の周の長さからπの値にせ まってゆこうとするこの方法についてはよくわかりまし たが，実さいは，どのようにして計算するのですか。 　

答え 　それでは，この方法で，私が実さい計算した結 果をのべてみましょう。計算は，筆算ではとても時間が かかりますので，電卓にさせました。 　

　の漸化式が得られました。

　外接正多角形の場合も，ほぼ同じ考えで，次の漸化式が得られます。

　直径が1つの円に内接する正4角形の周の長さは ですから，3（丸囲み）で， を代入すると が求まります。その値をまた3（丸囲み）に代入すると が求まり，以下同様にして ・・・が求まります。外接4角形から出発する場合は，4（丸囲み）で， を代入してゆけばよいわけです。この計算を電卓でやらせる場合は，3（丸囲み），4（丸囲み）式を次のように変形して用いました。

　次の表は，上の式を用いて，電卓に計算させたもので す。この電卓では，小数点以下は，15桁目以下が切り捨 てられますので，誤差の関係で，内接正$$角形まで，