教師のための統計入門-155/233page

問18　2変数 X, Y の相関係数を r とするとき, -1≦r≦1 であることを証明してください。

(答え)　X_i, Y_i、(i=1,2,3,……,n), t を実数とするとき,(X₁t−Y₁)²＋(X₂t−Y₂)²＋……＋(X_nt−Y_n)²≧0…………(1)

ここで, X₁, X₂,……,X_n は,同時には0でないものとしますと,

等号は,

Y₁/X₁=Y₂/Y₂=……Y_n/X_n=t………(2)

のとき成立することがわかります。(ただし, X_i=0 のときは Y_i=0 )(1)の各項を展開して, t について整とんすれば

これが成立するための条件は,

これが,コーシ・シュワルツの不等式です。これを変形して,次の不等式が導かれます。

ただし,等号は,(2)の成立するときに,成立します。

さて,2変数 X, Y の相関係数 r の定義式は,

ここで, x_i−^-x=X_i, y_i, −^-y=Y_iとおくと,