教師のための統計入門-171/233page

問23　不偏分散とは何ですか。

(答え)　大きさが N の母集団から任意抽出した大きさ n の標本; a₁, a₂, a₃,……,a_n において,標本平均を ^-x, 標本分散を s² としますと,

となり,これは, n が大のとき母分散σ² の推定値として用いられます。

しかし,大きさが N の母集団から,大きさが n のあらゆる標本を抽出して,この標本分散たちの平均値を求めますと,それは母分散σ² に一致しないのです。

ところが,標本分散 s² ではなく,

をつくって,この s^'2 たちの平均値を求めますと,それは,母分散σ² に一致することがわかります。(証明は最後に述べてあります。)

このように,あらゆる標本から得られたある値θ'たちの平均値が,母集団のある値θに一致するとき,この'θをθの不偏(かたよりのない)推定量といい,その実現値を不偏推定値といいます。(問22での標本平均は,母平均の不偏推定量になっています。)

この場合, s^'2 は母分散σ² の不偏推定量であり,これを不偏分散といいます。s² は不偏分散ではありません。ですから,母分散の推定値としては,標本分散 s² よりは,不偏分散 s^'2 の方が良いとされます。

n が大のときは, s² でも s^'2 でもそう大したちがいはありませんから,どちらでもかまわないのですが, n が小のときは,この不偏分散 s^'2 が,母分散σ² の推定値として用いられます。

標準偏差のだせる電卓に,σ_n-1のキーのついているものがありますが,これは,不偏分散の平方根を表しており, n が小のときは,標本標準偏差σ_n を用いるよりは,この不偏分散の平方根σ_n-1 を用いる方が適当であるとして,用いられることがあります。

それでは,次に証明を述べますが,ここで用いる記号は,すべて前問と同じ